12062. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
углы B
и D
прямые, а AB=BC
. Найдите площадь четырёхугольника ABCD
, если расстояние от точки B
до прямой AD
равно h
.
Ответ. h^{2}
.
Решение. Если AD=CD
, то ABCD
— квадрат со стороной h
. Его площадь равна h^{2}
.
Пусть, например, AD\gt CD
. Из точек B
и D
отрезок AC
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AC
. Пусть BH
— перпендикуляр к прямой AD
, а P
— точка пересечения луча BH
с окружностью. Тогда хорды CD
и BP
параллельны, поэтому BCDP
— равнобедренная трапеция (см. задачу 1678), а отрезок BH
— проекция её диагонали BD
на основание BP
. Значит, отрезок BH
равен средней линии трапеции PBCD
(см. задачу 1921), а её площадь равна BH\cdot DH
.
Точка B
— середина дуги ABC
, равной 180^{\circ}
, поэтому \angle ADB=45^{\circ}
. Из равнобедренного прямоугольного треугольника BHD
находим, что DH=BH=h
. Прямоугольные треугольники AHB
и PHD
равны по катету и прилежащему острому углу, следовательно,
S_{ABCD}=S_{\triangle AHB}+S_{BCDH}=S_{\triangle PHD}+S_{BCDH}=S_{BCDP}=BH\cdot DH=h\cdot h=h^{2}.