12067. Точка внутри выпуклого четырёхугольника площади S
соединена с его вершинами. Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого — точки пересечения медиан образовавшихся четырёх треугольников.
Ответ. \frac{2}{9}S
.
Решение. Пусть K
, L
, M
и N
— середины сторон соответственно AB
, BC
, CD
и AD
выпуклого четырёхугольника ABCD
, O
— произвольная точка, взятая внутри четырёхугольника, а E
, F
, G
и H
— точки пересечения медиан треугольников соответственно AOB
, BOC
, COD
и AOD
.
Четырёхугольник KLMN
— параллелограмм (см. задачу 1204), а его площадь равна половине площади четырёхугольника ABCD
(см. задачу 3019), т. е. \frac{1}{2}S
.
Точка пересечения медиан треугольника делит каждую его медиану в отношении 2:1
, считая от вершины, значит, треугольник EOF
подобен треугольнику KOL
с коэффициентом \frac{OE}{OK}=\frac{OF}{OL}=\frac{2}{3}
. Тогда S_{\triangle EOF}=\frac{4}{9}S_{\triangle KOL}
. Аналогично,
S_{\triangle FOG}=\frac{4}{9}S_{\triangle LOM},~S_{\triangle GOH}=\frac{4}{9}S_{\triangle MON},~S_{\triangle HOE}=\frac{4}{9}S_{\triangle NOK}.
Следовательно,
S_{EFGH}=S_{\triangle EOF}+S_{\triangle FOG}+S_{\triangle GOH}+S_{\triangle HOE}=
=\frac{4}{9}S_{\triangle KOL}+\frac{4}{9}S_{\triangle LOM}+\frac{4}{9}S_{\triangle MON}+\frac{4}{9}S_{\triangle NOK}=
=\frac{4}{9}(S_{\triangle KOL}+S_{\triangle LOM}+S_{\triangle MON}+S_{\triangle NOK})=
=\frac{4}{9}S_{EFGH}=\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{2}S=\frac{2}{9}S.