12074. В треугольнике ABC
проведены медианы BM
и CN
, пересекающиеся в точке O
. Найдите AC
, если известно, что в четырёхугольник AMON
можно вписать окружность, и BC=2
, NC=\sqrt{3}
.
Ответ. 2.
Указание. Треугольник ABC
равнобедренный.
Решение. Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1
, считая от вершины, поэтому OM=\frac{1}{3}BM
и ON=\frac{1}{3}CN
. В четырёхугольник AMON
можно вписать окружность, поэтому суммы его противоположных сторон равны. Значит,
AM+ON=AN+OM~\Leftrightarrow~\frac{1}{2}AC+\frac{1}{3}CN=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{3}BM~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{1}{2}(AC-AB)=\frac{2}{3}(BM-CN).
Известно, что в любом треугольнике к большей стороне проведена меньшая медиана (см. задачу 3537). Значит, если предположить, что AC\ne AB
, то правая и левая части полученного равенства будут иметь разные знаки. Следовательно, AB=AC
, т. е. треугольник ABC
равнобедренный.
Обозначим AC=AB=x
. По формуле для квадрата медианы (см. задачу 4014)
CN^{2}=\frac{1}{4}(2AC^{2}+2BC^{2}-AB^{2}),~\mbox{или}~3=\frac{1}{4}(2x^{2}+2\cdot4-x^{2}),
откуда находим, что x=2
.
Источник: Международная олимпиада «Интеллектуальный марафон». — 1992, II, задача 4
Источник: Журнал «Квант». — 1993, № 2, с. 81, задача 4