12079. На сторонах BC
и CD
параллелограмма ABCD
взяты соответственно точки M
и N
. Докажите, что медианы треугольников ABM
, ADN
и CMN
, проведённые соответственно из вершин B
, D
и C
, пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть прямая, проведённая через точку M
параллельно AB
, пересекает сторону AD
в точке K
, прямая, проведённая через точку N
параллельно BC
, пересекает сторону AB
в точке L
.
Первый способ. Пусть прямые BK
и DL
пересекаются в точке R
. Докажем, что R
— точка пересечения указанных в условии медиан треугольников ABM
, ADN
и CMN
. Эти медианы лежат на прямых CP
, BK
и DL
соответственно, поэтому достаточно доказать, что прямая CP
проходит через точку R
.
Пусть прямые, проведённые через точку R
параллельно AB
и CD
пересекают стороны BC
и AD
в точках соответственно X
и Y
, стороны AB
и CD
— в точках соответственно Z
и T
, P
— точка пересечения отрезков MK
и LN
, Q
— точка пересечения отрезков XY
и NL
, E
— точка пересечения отрезков ZT
и MK
.
Точка R
лежит на диагонали DL
параллелограмма ADNL
, поэтому параллелограмм RTNQ
равновелик параллелограмму AYRZ
(см. задачу 3159). Аналогично, точка R
лежит на диагонали AM
параллелограмма ABMK
, поэтому параллелограмм REMX
также равновелик параллелограмму AYRZ
. Параллелограммы RTNQ
и REMX
равновелики, значит, равновелики и параллелограммы ETNP
и QPMX
. Следовательно, точка P
лежит на диагонали CR
параллелограмма RTCX
(см. задачу 3220), т. е. прямая CP
проходит через точку R
.
Второй способ. Пусть прямые BK
и CP
пересекаются в точке U
. Докажем, что U
— точка пересечения указанных в условии медиан треугольников ABM
, ADN
и CMN
. Эти медианы лежат на прямых CP
, BK
и DL
соответственно, поэтому достаточно доказать, что прямая DL
проходит через точку U
.
Положим
\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{a},~\overrightarrow{MB}=\alpha\overrightarrow{a},~\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{b},~\overrightarrow{ND}=\beta\overrightarrow{b}.
Тогда
\overrightarrow{CU}=t\overrightarrow{CP}=t(\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{CN})=t((1-\alpha)\overrightarrow{a}+(1-\beta)\overrightarrow{b}).
С другой стороны,
\overrightarrow{CU}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BU}=\overrightarrow{CB}+s\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{a}+s(\overrightarrow{b}-\alpha\overrightarrow{a})=(1-s\alpha)\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}.
Приравнивая два разложения вектора \overrightarrow{CU}
по неколлинеарным векторам \overrightarrow{a}
и \overrightarrow{b}
, получаем
s=t(1-\beta),~t(1-\alpha)=1-s\alpha=1-t(1-\beta)\alpha,
откуда t=\frac{1}{1-\alpha\beta}
. Как видим, t
симметрично относительно \alpha
и \beta
, поэтому, обозначая через U'
точку пересечения CP
и DL
, для вектора \overrightarrow{CU'}
мы получим (сделав выкладки, аналогичные приведённым выше) то же самое выражение, что и для вектора \overrightarrow{CU}
. Значит, точка U
и есть общая точка прямых BK
, CP
и DL
.