12092. В параллелограмме ABCD
точки E
и F
выбираются на сторонах соответственно BC
и AD
так, что EF=ED=DC
. Пусть M
— середина отрезка BE
, а прямая MD
пересекает отрезок EF
в точке G
. Докажите, что углы EAC
и GBD
равны.
Решение. Обозначим точку пересечения прямых AD
и BG
через H
. Поскольку BE\parallel FH
и GM
— медиана треугольника BEG
, отрезок GD
— медиана треугольника GFH
(см. задачу 2607). Значит, DH=DF
.
Обозначим \angle EDF=\alpha
. Прямые CE
и AH
параллельны, поэтому
\angle CDH=\angle ECD=\angle CED=\angle EDF=\alpha,
а так как CD=DE=EF
, то треугольники CDH
, DCE
и DEF
равны. Значит,
CH=EF=DE=CD~\mbox{и}~DH=EC.
Эти треугольники равнобедренные, а CEDH
— параллелограмм.
Рассмотрим треугольники ACE
и BHD
. Поскольку CE=DH
, а AB=CD=DE
и AD\parallel BE
, четырёхугольник ABED
— равнобокая трапеция, поэтому её диагонали AE
и BD
равны (см. задачу 1914). Аналогично, ABCH
— равнобокая трапеция, поэтому AC=BH
, а так как CE=DH
, то треугольники ACE
и BHD
равны по трём сторонам. Следовательно,
\angle CAE=\angle HBD=\angle GBD.
Что и требовалось доказать.