12094. Рассмотрим две окружности \Omega
и \omega
, касающиеся друг друга внутренним образом в точке A
. Пусть хорда BC
окружности \Omega
касается окружности \omega
в точке K
. Пусть также O
— центр \omega
. Докажите, что описанная окружность треугольника BOC
делит отрезок AK
пополам.
Решение. Пусть общая касательная окружностей в точке A
и прямая BC
пересекаются в точке X
. По теореме о касательной и секущей XA^{2}=XB\cdot XC
.
Пусть M
— середина отрезка AK
. Тогда AM
— высота прямоугольного треугольника OAX
, проведённая из вершины прямого угла (см. задачу 1180), поэтому XA^{2}=XM\cdot XO
(см. задачу 2728). Значит, XB\cdot XC=XM\cdot XO
, поэтому точки B
, M
, O
и C
лежат на одной окружности (см. задачу 114) — описанной окружности треугольника BOC
. Отсюда следует утверждение задачи.