12099. Катеты прямоугольного треугольника ABC
с прямым углом при вершине C
равны 5 и 12. Окружность, построенная на высоте CH
как на диаметре, пересекает катеты в точках M
и N
, отличных от C
. Найдите MN
.
Ответ. \frac{60}{13}
.
Решение. По теореме Пифагора находим, что
AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{25+144}=13.
Точки M
и N
лежат на окружности с диаметром CH
, значит (см. задачу 1689),
\angle CNH=\angle CMH=90^{\circ},
а так как \angle MCN=90^{\circ}
, то CMHN
— прямоугольник. Его диагонали равны, следовательно (см. примечание к задаче 1967),
MN=CH=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{5\cdot12}{13}=\frac{60}{13}.