12100. Катет AC
прямоугольного треугольника ABC
с прямым углом при вершине C
равен 8, высота CH
равна 4. Окружность с диаметром CH
пересекает катеты AC
и BC
в точках соответственно P
и Q
, отличных от C
. Найдите стороны четырёхугольника CPHQ
.
Ответ. 2, 2, 2\sqrt{3}
, 2\sqrt{3}
.
Решение. Точки P
и Q
лежат на окружности с диаметром CH
, значит (см. задачу 1689),
\angle CPH=\angle CQH=90^{\circ},
а так как \angle PCQ=90^{\circ}
, то CPHQ
— прямоугольник. Отрезок HP
— высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, поэтому (см. задачу 2728)
HQ=CP=\frac{CH^{2}}{AC}=\frac{16}{8}=2,
а так как
AP=QC-CP=8-2=6,
то
CQ=HP=\sqrt{AP\cdot CP}=\sqrt{2\cdot6}=2\sqrt{3}.