12102. Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию, разбивает её большую боковую сторону на отрезки, равные 3 и 12. Найдите диагонали трапеции.
Ответ. 15, 6\sqrt{13}
.
Решение. Пусть ABCD
— прямоугольная трапеция с прямым углом при вершине A
и с основаниями AD
и BC
, K
— точка касания с боковой стороной CD
вписанной в трапецию окружности с центром O
радиуса r
, CK=3
и KD=12
; L
, M
и N
— точки касания окружности с основаниями AD
, BC
и меньшей боковой стороной AB
соответственно.
Треугольник COD
прямоугольный (см. задачу 313), а OK=r
— его высота, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
r=OK=\sqrt{CK\cdot KD}=\sqrt{3\cdot12}=6
(см. задачу 2728), а так как высота AB
трапеции равна диаметру вписанной окружности, то AB=12
.
Четырёхугольники ANOL
и BMON
— квадраты со стороной 6, а DL=DK=12
и CM=CK=3
, поэтому
AD=AL+LD=6+12=18,~BC=BM+MC=6+3=9.
Следовательно, по теореме Пифагора
BD=\sqrt{AD^{2}+AB^{2}}=\sqrt{18^{2}+12^{2}}=6\sqrt{9+4}=6\sqrt{13},
AC=\sqrt{BC^{2}+AB^{2}}=\sqrt{9^{2}+12^{2}}=3\sqrt{9+16}=15.