12105. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 3 и 5. Найдите площади треугольников, на которые разбивает данный треугольник его высота, проведённая из вершины прямого угла.
Ответ. \frac{96}{25}=3{,}84
; \frac{54}{25}=2{,}16
.
Решение. Первый способ. Пусть CH
— высота прямоугольного треугольника ABC
, проведённая из вершины C
прямого угла, BC=3
, AC=4
. По теореме Пифагора находим, что AB=5
. Тогда (см. задачи 1967 и 2728)
CH=\frac{BC\cdot AC}{AB}=\frac{3\cdot4}{5}=\frac{12}{5},~BH=\frac{BC^{2}}{AB}=\frac{9}{5}.
Следовательно,
S_{\triangle BHC}=\frac{1}{2}BH\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot\frac{9}{5}\cdot\frac{12}{5}=\frac{54}{25}.
Аналогично,
AH=\frac{AC^{2}}{AB}=\frac{16}{5},~S_{\triangle AHC}=\frac{1}{2}AH\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot\frac{16}{5}\cdot\frac{12}{5}=\frac{96}{25}.
Второй способ. Треугольник CBH
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}
, следовательно,
S_{\triangle CBH}=\left(\frac{3}{5}\right)^{2}S_{\triangle ABC}=\frac{9}{25}\cdot\frac{1}{2}\cdot3\cdot4=\frac{54}{25}.
Треугольник ACH
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}
, следовательно,
S_{\triangle ACH}=\left(\frac{4}{5}\right)^{2}S_{\triangle ABC}=\frac{16}{25}\cdot\frac{1}{2}\cdot3\cdot4=\frac{96}{25}.