12106. Катеты прямоугольного треугольника равны 2 и 4. Найдите площади треугольников, на которые разбивает данный треугольник его высота, проведённая из вершины прямого угла.
Ответ. \frac{16}{5}=3{,}2
; \frac{4}{5}=0{,}8
.
Решение. Первый способ. Пусть CH
— высота прямоугольного треугольника ABC
, проведённая из вершины C
прямого угла, BC=2
, AC=4
. По теореме Пифагора находим, что
AB=\sqrt{BC^{2}+AC^{2}}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}.
Тогда (см. задачи 1967 и 2728)
CH=\frac{BC\cdot AC}{AB}=\frac{2\cdot4}{2\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}},~BH=\frac{BC^{2}}{AB}=\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.
Следовательно,
S_{\triangle BHC}=\frac{1}{2}BH\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4}{5}.
Аналогично,
AH=\frac{AC^{2}}{AB}=\frac{16}{2\sqrt{5}}=\frac{8}{\sqrt{5}},~S_{\triangle AHC}=\frac{1}{2}AH\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot\frac{8}{\sqrt{5}}\cdot\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{16}{5}.
Второй способ. Треугольник CBH
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{BC}{AB}=\frac{1}{\sqrt{5}}
, следовательно,
S_{\triangle CBH}=\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{2}\cdot2\cdot4=\frac{4}{5}.
Треугольник ACH
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{AC}{AB}=\frac{2}{\sqrt{5}}
, следовательно,
S_{\triangle ACH}=\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^{2}S_{\triangle ABC}=\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{2}\cdot2\cdot4=\frac{16}{5}.