12108. Из точки A
, лежащей вне окружности с центром O
, проведены две прямые, касающиеся окружности в точках M
и N
. Отрезок OA
разбивается окружностью на отрезки OB=5
и AB=8
. Найдите хорду MN
и котангенс угла ONM
.
Ответ. \frac{120}{13}
, \frac{12}{5}
.
Решение. В прямоугольном треугольнике ONA
с прямым углом при вершине N
известно, что
ON=OB=5,~OA=OB+BA=5+8=13.
По теореме Пифагора
AN=\sqrt{OA^{2}-ON^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12.
Поскольку прямая OA
— серединный перпендикуляр к отрезку MN
(см. задачу 1180), точка H
пересечения MN
и OA
— середина отрезка MN
, а NH
— высота прямоугольного треугольника ONA
, проведённая из вершины прямого угла. Следовательно (см. задачу 1967),
MN=2NH=2\cdot\frac{ON\cdot AN}{OA}=2\cdot\frac{5\cdot12}{13}=\frac{120}{13},
\ctg\angle ONM=\ctg\angle ONH=\ctg\angle OAN=\frac{AN}{ON}=\frac{12}{5}.