12115. К окружности проведены три различные касательные AB
, BC
и AC
. Расстояние от точки A
до прямой BC
равно 1, расстояние от точки касания прямой BC
с окружностью до проекции точки A
на эту прямую равно \sqrt{5}
, BC=\frac{4\sqrt{2}}{3}
. Найдите радиус этой окружности, а также радиусы вневписанных окружностей треугольника ABC
.
Ответ. \frac{2}{9}
; 1; 2; 2.
Решение. 1. Пусть P
— точка касания окружности треугольника ABC
с прямой BC
, H
— проекция вершины A
на прямую BC
. Тогда AH
— высота треугольника ABC
.
Пусть r
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
, S
— площадь треугольника, p
— полупериметр, M
и N
— точки касания окружности со сторонами AB
и AC
соответственно, F
— проекция центра I
окружности на прямую AH
. Обозначим AM=AN=x
. Тогда
p=AN+CP+BP=AN+BC=x+\frac{4\sqrt{2}}{3},
S=\frac{1}{2}BC\cdot AH=\frac{1}{2}\cdot\frac{4\sqrt{2}}{3}\cdot1=\frac{2\sqrt{2}}{3},~S=pr=\left(x+\frac{4\sqrt{2}}{3}\right)r.
Значит,
\left(x+\frac{4\sqrt{2}}{3}\right)r=\frac{2\sqrt{2}}{3}~\Rightarrow~r=\frac{2\sqrt{2}}{3x+4\sqrt{2}}.
Из прямоугольных треугольников AIM
и AIF
с общей гипотенузой AI
получаем
AM^{2}+IM^{2}=AF^{2}+IF^{2},~\mbox{или}~x^{2}+r^{2}=(1-r)^{2}+(\sqrt{5})^{2},~r=\frac{6-x^{2}}{2},
поэтому
\frac{2\sqrt{2}}{3x+4\sqrt{2}}=\frac{6-x^{2}}{2},~3x^{3}+4x^{2}\sqrt{2}-18x-20\sqrt{2}=0.
Заменив \sqrt{2}=c
, получим уравнение
3x^{3}+4x^{2}c-9xc^{2}-10c^{3}=0,~\mbox{или}~3m^{3}+4m^{2}-9m-10=0,
где m=\frac{x}{c}
. Заметим, что m=\frac{5}{3}
— корень последнего уравнения и
3m^{3}+4m^{2}-9m-10=(3m-5)(m^{2}+3m+2).
Других положительных корней у этого уравнения нет. Таким образом x=\frac{5}{3}c=\frac{5\sqrt{2}}{3}
. Следовательно,
r=\frac{6-x^{2}}{2}=\frac{6-\frac{50}{9}}{2}=\frac{2}{9}.
2. Пусть r_{a}
— радиус вневписанной окружности с центром I_{a}
, касающейся стороны BC
, M
— точка касания этой окружности с продолжением стороны AB
. При тех же остальных обозначениях, что и в первом случае, получим
p=AM=x,~x^{2}=2r_{a}+6,~S=r_{a}(p-BC)=r_{a}\left(x-\frac{4\sqrt{2}}{2}\right),
S=\frac{1}{2}BC\cdot AH=\frac{2\sqrt{2}}{3}=r_{a}\left(x-\frac{4\sqrt{2}}{2}\right),
откуда
r_{a}=\frac{2\sqrt{2}}{3x-4\sqrt{2}}.
Из прямоугольных треугольников AI_{a}M
и AI_{a}F
с общей гипотенузой AI_{a}
получаем
AM^{2}+I_{a}M^{2}=AF^{2}+I_{a}F^{2},~\mbox{или}~x^{2}+r_{a}^{2}=(1+r_{a})^{2}+(\sqrt{5})^{2},~r_{a}=\frac{2\sqrt{2}}{3x-4\sqrt{2}},
поэтому
x^{2}=2r_{a}+6=\frac{4\sqrt{2}}{3x-4\sqrt{2}}+6.
После преобразований, аналогичным преобразованиям в первом случае, получим уравнение
3m^{3}-4m^{2}-9m+10=0~\Leftrightarrow~(m-1)(3m^{2}-m-10)=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(m-1)(m-2)(3m+5)=0.
Его положительные корни m=1
и m=2
дают x=\sqrt{2}
и x=2\sqrt{2}
. В первом из этих случаев r_{a}=\frac{x^{2}-6}{2}\lt0
, что невозможно, а во втором — r_{a}=1
.
3. Пусть r_{c}
— радиус вневписанной окружности с центром I_{c}
, касающейся стороны AB
, P
и N
— точки касания этой окружности с продолжениями сторон BC
и AC
соответственно, M
— точка касания со стороной AB
, F
— проекция точки A
на на прямую I_{c}P
. Обозначим AN=AM=x
, BP=BM=y
, S
— площадь треугольника ABC
, p
— полупериметр.
Тогда (см. задачи 1750 и 392)
p=CP=CB+BP=\frac{4\sqrt{2}}{3}+y,
p-AB=p-(AM+MP)=\frac{4\sqrt{2}}{3}+y-(x+y)=\frac{4\sqrt{2}}{3}-x.
\frac{2\sqrt{2}}{3}=S=(p-AB)r_{c}=\left(\frac{4\sqrt{2}}{3}-x\right)r_{c}.
Из прямоугольных треугольников AFI_{c}
и ANI_{c}
получаем
5+(r-1)^{2}=AF^{2}+FI_{c}^{2}=AI_{c}^{2}=AN^{2}+I_{c}Q^{2}=x^{2}+r_{c}^{2},
или
r_{c}=\frac{6-x^{2}}{2}.
Подставляя это выражение r_{c}
в равенство
\left(\frac{4\sqrt{2}}{3}-x\right)r_{c}=\frac{2\sqrt{2}}{3},
после очевидных упрощений получим
3x^{3}-4\sqrt{2}x^{2}-18x+20\sqrt{2}=0.
Заменив \sqrt{2}=c
, получим уравнение
3x^{3}-4x^{2}c-9xc^{2}+10c^{2}=0,~\mbox{или}~3m^{3}-4m^{2}-9m+10=0,
где m=\frac{x}{c}
. Заметим, что m=1
— корень последнего уравнения, и
3m^{3}-4m^{2}-9m+10=(m-1)(3m^{2}-m-10)=(m-1)(m-2)(3m+5)=0.
Положительные корни этого уравнения — m=2
и m=1
. Если m=2
, то
x=2\sqrt{2},~r_{c}=\frac{6-x^{2}}{2}=\frac{6-8}{2}\lt0,
что невозможно. Если m=1
, то
x=\sqrt{2},~r_{c}=\frac{6-x^{2}}{2}=\frac{6-2}{2}=2.
4. Случай, когда вневписанная окружность касается стороны AC
, даёт тот же результат r_{b}=2
.
Источник: Журнал «Квант». — 2007, № 2, с. 47
Источник: Вступительный экзамен на математико-механический факультет ЛГУ (СПбГУ). — 2006, задача 4