12119. Точку D
, лежащую внутри остроугольного треугольника ABC
, отразили симметрично относительно трёх его сторон AB
, BC
, CA
. Оказалось, что соответствующие три новые точки C_{1}
, A_{1}
и B_{1}
лежат на окружности, описанной вокруг треугольника ABC
. Затем на чертеже оставили точки C_{1}
, A_{1}
и B_{1}
, а всё остальное стёрли. Восстановите треугольник ABC
по этим трём точкам.
Решение. Известно, что указанным в условии свойством точки D
обладает ортоцентр треугольника ABC
(см. задачу 4785). Никакие другие внутренние точки треугольника ABC
таким свойством не обладают. В этом можно убедиться следующим образом. Отразим симметрично сторонам треугольника соответствующие дуги описанной около треугольника ABC
окружности. Если бы эти дуги пересеклись не только в точке D
, но и ещё в какой-то другой точке D'
, то отрезок DD'
был бы хордой каждой из окружностей, описанных около треугольников ABD
, BCD
и ACD
. Тогда центры этих окружностей оказались бы лежащими на одной прямой, перпендикулярной DD'
. Но этого не может быть, поскольку указанные центры лежат на трёх не параллельных прямых — серединных перпендикулярах к сторонам AB
, BC
и AC
.
Итак, точка D
— это точка пересечения высот треугольника ABC
. Известно, что биссектрисы треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
лежат на тех же прямых, на которых лежат высоты треугольника ABC
(см. задачу 34). Отсюда вытекает следующий способ построения.
Описываем окружность \Omega
около треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, строим биссектрисы этого треугольника. Точки их пересечения с окружностью \Omega
есть вершины искомого треугольника ABC
.