12152. В окружность
\Omega
радиуса 10 вписаны трапеция
ABCD
(
AD\parallel BC
) и прямоугольник
A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
таким образом, что
AC\parallel B_{1}D_{1}
и
BD\parallel A_{1}C_{1}
. Найдите отношение площадей трапеции и прямоугольника, если известно, что
AD=16
,
BC=12
.
Ответ.
\frac{1}{2}
или
\frac{49}{50}
.
Решение. Проведём через центр
O
окружности
\Omega
прямую, перпендикулярную основаниям трапеции. Пусть она пересекает основания
BC
и
AD
трапеции в точках
M
и
N
соответственно. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, поэтому
BM=6
,
AN=8
. По теореме Пифагора
OM=\sqrt{OB^{2}-BM^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8,

ON=\sqrt{OA^{2}-AN^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6.

Возможны два случая.
1) Точка
O
не лежит на отрезке
MN
. Тогда высота трапеции есть
MN=OM-ON=8-6=2.

Пусть
BH
— также высота трапеции. Трапеция, вписанная в окружность, равнобедренная, поэтому (см. задачу 1921)
DH=\frac{AD+BC}{2}=\frac{16+12}{2}=14.

Тогда
AC=BD=\sqrt{DH^{2}+BH^{2}}=\sqrt{196+4}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}.

Пусть угол между диагоналями трапеции равен
\alpha
. Тогда (см. задачу 3018)
S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin\alpha\frac{1}{2}\cdot10\sqrt{2}\cdot10\sqrt{2}\sin\alpha=100\sin\alpha,

а так как диагонали прямоугольника равны диаметру окружности и соответственно параллельны диагоналям трапеции, то
S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=\frac{1}{2}A_{1}C_{1}\cdot B_{1}D_{1}\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot20\sqrt{2}\cdot20\sin\alpha=200\sin\alpha.

Следовательно,
\frac{S_{ABCD}}{S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}}=\frac{100\sin\alpha}{200\sin\alpha}=\frac{1}{2}.

2) Точка
O
лежит на отрезке
MN
. Тогда
MN=OM+ON=8+6=14.

Аналогично первому случаю находим, что
DH=14,~BD=\sqrt{14^{2}+14^{2}}=14\sqrt{2},

S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin\alpha\frac{1}{2}\cdot14\sqrt{2}\cdot14\sqrt{2}\sin\alpha=196\sin\alpha.

S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=\frac{1}{2}A_{1}C_{1}\cdot B_{1}D_{1}\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot20\sqrt{2}\cdot20\sin\alpha=200\sin\alpha.

Следовательно,
\frac{S_{ABCD}}{S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}}=\frac{196\sin\alpha}{200\sin\alpha}=\frac{49}{50}.

Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2019, 9 класс, билет 9, задача 5