12152. В окружность \Omega
радиуса 10 вписаны трапеция ABCD
(AD\parallel BC
) и прямоугольник A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
таким образом, что AC\parallel B_{1}D_{1}
и BD\parallel A_{1}C_{1}
. Найдите отношение площадей трапеции и прямоугольника, если известно, что AD=16
, BC=12
.
Ответ. \frac{1}{2}
или \frac{49}{50}
.
Решение. Проведём через центр O
окружности \Omega
прямую, перпендикулярную основаниям трапеции. Пусть она пересекает основания BC
и AD
трапеции в точках M
и N
соответственно. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, поэтому BM=6
, AN=8
. По теореме Пифагора
OM=\sqrt{OB^{2}-BM^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8,
ON=\sqrt{OA^{2}-AN^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6.
Возможны два случая.
1) Точка O
не лежит на отрезке MN
. Тогда высота трапеции есть
MN=OM-ON=8-6=2.
Пусть BH
— также высота трапеции. Трапеция, вписанная в окружность, равнобедренная, поэтому (см. задачу 1921)
DH=\frac{AD+BC}{2}=\frac{16+12}{2}=14.
Тогда
AC=BD=\sqrt{DH^{2}+BH^{2}}=\sqrt{196+4}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}.
Пусть угол между диагоналями трапеции равен \alpha
. Тогда (см. задачу 3018)
S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin\alpha\frac{1}{2}\cdot10\sqrt{2}\cdot10\sqrt{2}\sin\alpha=100\sin\alpha.
а так как диагонали прямоугольника равны диаметру окружности и соответственно параллельны диагоналям трапеции, то
S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=\frac{1}{2}A_{1}C_{1}\cdot B_{1}D_{1}\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot20\sqrt{2}\cdot20\sin\alpha=200\sin\alpha.
Следовательно,
\frac{S_{ABCD}}{S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}}=\frac{100\sin\alpha}{200\sin\alpha}=\frac{1}{2}.
2) Точка O
лежит на отрезке MN
. Тогда
MN=OM+ON=8+6=14.
Аналогично первому случаю находим, что
DH=14,~BD=\sqrt{14^{2}+14^{2}}=14\sqrt{2},
S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin\alpha\frac{1}{2}\cdot14\sqrt{2}\cdot14\sqrt{2}\sin\alpha=196\sin\alpha.
S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=\frac{1}{2}A_{1}C_{1}\cdot B_{1}D_{1}\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot20\sqrt{2}\cdot20\sin\alpha=200\sin\alpha.
Следовательно,
\frac{S_{ABCD}}{S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}}=\frac{196\sin\alpha}{200\sin\alpha}=\frac{49}{50}.