12153. В окружность \Omega
радиуса 13 вписаны трапеция ABCD
(AD\parallel BC
) и прямоугольник A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
таким образом, что AC\parallel B_{1}D_{1}
и BD\parallel A_{1}C_{1}
. Найдите отношение площадей трапеции и прямоугольника, если известно, что AD=24
, BC=10
.
Ответ. \frac{1}{2}
или \frac{289}{338}
.
Решение. Проведём через центр O
окружности \Omega
прямую, перпендикулярную основаниям трапеции. Пусть она пересекает основания BC
и AD
трапеции в точках M
и N
соответственно. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, поэтому BM=5
, AN=12
. По теореме Пифагора
OM=\sqrt{OB^{2}-BM^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12,
ON=\sqrt{OA^{2}-AN^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5.
Возможны два случая.
1) Точка O
не лежит на отрезке MN
. Тогда высота трапеции есть
MN=OM-ON=12-5=7.
Пусть BH
— также высота трапеции. Трапеция, вписанная в окружность, равнобедренная, поэтому (см. задачу 1921)
DH=\frac{AD+BC}{2}=\frac{24+10}{2}=17.
Тогда
AC=BD=\sqrt{DH^{2}+BH^{2}}=\sqrt{289+49}=\sqrt{338}=13\sqrt{2}.
Пусть угол между диагоналями трапеции равен \alpha
. Тогда (см. задачу 3018)
S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin\alpha\frac{1}{2}\cdot13\sqrt{2}\cdot13\sqrt{2}\sin\alpha=169\sin\alpha.
а так как диагонали прямоугольника равны диаметру окружности и соответственно параллельны диагоналям трапеции, то
S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=\frac{1}{2}A_{1}C_{1}\cdot B_{1}D_{1}\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot26\sqrt{2}\cdot26\sin\alpha=338\sin\alpha.
Следовательно,
\frac{S_{ABCD}}{S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}}=\frac{169\sin\alpha}{338\sin\alpha}=\frac{1}{2}.
2) Точка O
лежит на отрезке MN
. Тогда
MN=OM+ON=5+12=17.
Аналогично первому случаю находим, что
DH=17,~BD=\sqrt{17^{2}+17^{2}}=17\sqrt{2},
S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin\alpha\frac{1}{2}\cdot17\sqrt{2}\cdot17\sqrt{2}\sin\alpha=289\sin\alpha.
S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=\frac{1}{2}A_{1}C_{1}\cdot B_{1}D_{1}\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot26\sqrt{2}\cdot26\sin\alpha=338\sin\alpha.
Следовательно,
\frac{S_{ABCD}}{S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}}=\frac{289\sin\alpha}{338\sin\alpha}=\frac{289}{338}.