12225.
AM
и
BN
— биссектрисы треугольника
ABC
. На прямой
MN
расположена точка
P
, удалённая от прямых
AB
и
BC
на расстояния 4 и 1 соответственно. Найдите расстояние от точки
P
до прямой
AC
.
Ответ. 3 или 5.
Решение. Пусть
N_{c}
,
M_{c}
и
P_{c}
— проекции точек соответственно
N
,
M
и
P
на прямую
AB
,
N_{a}
и
P_{a}
— проекции точек соответственно
N
и
P
на прямую
BC
,
M_{b}
и
P_{b}
—проекции точек соответственно
M
и
P
на прямую
AC
. По условию задачи
PP_{c}=4
,
PP_{a}=1
, а так как точки
N
и
M
лежат на биссектрисах углов
ABC
и
BAC
, они равноудалены от сторон этих углов (см. задачу 1138). Обозначим
NN_{c}=NN_{a}=v,~MM_{c}=MM_{b}=u,~PP_{b}=d,~\frac{NP}{PM}=\frac{x}{y}.

1. Пусть точка
P
лежит между
M
и
N
. Из прямоугольной трапеции (или прямоугольника
MNN_{c}M_{c}
) получаем (см. примечание к задаче 1502)
4=PP_{c}=\frac{xMM_{c}}{x+y}+\frac{yNN_{c}}{x+y}=\frac{xu}{x+y}+\frac{yv}{x+y},

из подобия треугольников
MPP_{a}
и
MNN_{a}
—
1=PP_{a}=\frac{yNN_{a}}{x+y}=\frac{yv}{x+y}.

Следовательно, из подобия треугольников
NPP_{b}
и
NMM_{b}
находим, что
d=PP_{b}=\frac{xMM_{b}}{x+y}=\frac{xu}{x+y}=4-\frac{yv}{x+y}=4-1=3.

2. Пусть точка
P
лежит на продолжении отрезка
NM
за точку
M
. Из прямоугольной трапеции (или прямоугольника
PNN_{c}P_{c}
) получаем
u=MM_{c}=\frac{(x-y)PP_{c}}{y}+\frac{yNN_{c}}{x}=\frac{4(x-y)}{x}+\frac{yv}{x},

из подобия треугольников
MPP_{a}
и
MNM_{b}
—
1=PP_{a}=\frac{yNN_{a}}{x-y}=\frac{yv}{x-y}.

Следовательно, из подобия треугольников
PNP_{b}
и
NNM_{b}
находим, что
d=PP_{b}=\frac{xMM_{b}}{x-y}=\frac{xu}{x-y}=\frac{x}{x-y}\cdot u=

=\frac{x}{x-y}\left(\frac{4(x-y)}{x}+\frac{yv}{x}\right)=4+\frac{yv}{x-y}=4+1=5.

Тот же результат для случая, когда точка
P
лежит на продолжении отрезка
NM
за точку
N
.
Примечание. 1. См. лемму о биссектральном треугольнике (задача 1630).
2. См. также статью А.Карлюченко и Г.Филипповского «Лемма биссектрального треугольника», Квант, 2016, N2, с.36-38.