12225. AM
и BN
— биссектрисы треугольника ABC
. На прямой MN
расположена точка P
, удалённая от прямых AB
и BC
на расстояния 4 и 1 соответственно. Найдите расстояние от точки P
до прямой AC
.
Ответ. 3 или 5.
Решение. Пусть N_{c}
, M_{c}
и P_{c}
— проекции точек соответственно N
, M
и P
на прямую AB
, N_{a}
и P_{a}
— проекции точек соответственно N
и P
на прямую BC
, M_{b}
и P_{b}
— проекции точек соответственно M
и P
на прямую AC
. По условию задачи PP_{c}=4
, PP_{a}=1
, а так как точки N
и M
лежат на биссектрисах углов ABC
и BAC
, они равноудалены от сторон этих углов (см. задачу 1138). Обозначим
NN_{c}=NN_{a}=v,~MM_{c}=MM_{b}=u,~PP_{b}=d,~\frac{NP}{PM}=\frac{x}{y}.
1. Пусть точка P
лежит между M
и N
. Из прямоугольной трапеции (или прямоугольника MNN_{c}M_{c}
) получаем (см. примечание к задаче 1502)
4=PP_{c}=\frac{xMM_{c}}{x+y}+\frac{yNN_{c}}{x+y}=\frac{xu}{x+y}+\frac{yv}{x+y},
из подобия треугольников MPP_{a}
и MNN_{a}
—
1=PP_{a}=\frac{yNN_{a}}{x+y}=\frac{yv}{x+y}.
Следовательно, из подобия треугольников NPP_{b}
и NMM_{b}
находим, что
d=PP_{b}=\frac{xMM_{b}}{x+y}=\frac{xu}{x+y}=4-\frac{yv}{x+y}=4-1=3.
2. Пусть точка P
лежит на продолжении отрезка NM
за точку M
. Из прямоугольной трапеции (или прямоугольника PNN_{c}P_{c}
) получаем
u=MM_{c}=\frac{(x-y)PP_{c}}{y}+\frac{yNN_{c}}{x}=\frac{4(x-y)}{x}+\frac{yv}{x},
из подобия треугольников MPP_{a}
и MNM_{b}
—
1=PP_{a}=\frac{yNN_{a}}{x-y}=\frac{yv}{x-y}.
Следовательно, из подобия треугольников PNP_{b}
и MNM_{b}
находим, что
d=PP_{b}=\frac{xMM_{b}}{x-y}=\frac{xu}{x-y}=\frac{x}{x-y}\cdot u=
=\frac{x}{x-y}\left(\frac{4(x-y)}{x}+\frac{yv}{x}\right)=4+\frac{yv}{x-y}=4+1=5.
Тот же результат для случая, когда точка P
лежит на продолжении отрезка NM
за точку N
.
Примечание. 1. См. лемму о биссектральном треугольнике (задача 1630).
2. См. также статью А.Карлюченко и Г.Филипповского «Лемма биссектрального треугольника», Квант, 2016, N2, с.36-38.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2021, март, заключительный тур, 9 класс, вариант 1, задача 5