12243. Окружность радиуса 1 касается прямой l
в точке A
и прямой m
в точке B
, причём хорда AB
стягивает дугу окружности в 60^{\circ}
. Прямые l
и m
пересекаются в точке F
. Точка C
расположена на луче AF
, а точка D
— на луче FB
, причём AC=BD=2
. Найдите медиану треугольника CBD
, проведённую из вершины B
.
Ответ. \sqrt{3}-\frac{1}{2}
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, M
— середина отрезка CD
. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла (см. задачу 1724), поэтому
\angle AFO=\frac{1}{2}\angle AFB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle AOB)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-60^{\circ})=60^{\circ}.
Тогда
BF=AF=OA\ctg60^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}},~CF=AC-AF=2-\frac{1}{\sqrt{3}},
FD=BF+BD=\frac{1}{\sqrt{3}}+2,
а так как \angle CFD=60^{\circ}
, то по теореме косинусов находим, что
BC^{2}=CF^{2}+BF^{2}-2CF\cdot BF\cos60^{\circ}=
=\left(2-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}-\left(2-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=5-2\sqrt{3},
CD^{2}=CF^{2}+DF^{2}-2CF\cdot DF\cos60^{\circ}=
=\left(2-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}+\left(2+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}-\left(2-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\left(2+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=5.
Следовательно, по формуле для медианы треугольника (см. задачу 4014)
BM=\frac{1}{2}\sqrt{2BC^{2}+2BD^{2}-CD^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2(5-2\sqrt{3})+2\cdot4-5}=
=\frac{1}{2}\sqrt{13-4\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\sqrt{12-4\sqrt{3}+1}=\frac{1}{2}\sqrt{(2\sqrt{3}-1)^{2}}=\sqrt{3}-\frac{1}{2}.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2019, осень, отборочный тур, 11 класс, вариант 1, задача 6