12255. Известно, что в трапецию, у которой диагональ BD
образует с основанием угол 30^{\circ}
, можно вписать окружность и около неё можно описать окружность. Найдите отношение периметра трапеции к длине вписанной в неё окружности, а также отношение периметра трапеции к длине описанной около неё окружности.
Ответ. \frac{4\sqrt{3}}{\pi}
, \frac{2}{\pi}
.
Решение. Пусть r
— радиус круга с центром O
, вписанного в данную трапецию ABCD
, \angle ADB=30^{\circ}
, BH=2r
— высота трапеции. Эта трапеция равнобедренная, так как около неё описать окружность (см. задачу 5003).
Пусть периметр трапеции равна P
, а длина вписанной в неё окружности равна L_{1}
. Из прямоугольного треугольника BDH
находим, что DH=BH\sqrt{3}=2r\sqrt{3}
. Поскольку трапеция описанная и равнобедренная, сумма её оснований равна сумме боковых сторон, а проекция DH
диагонали BD
на основание AD
равна полусумме оснований (см. задачу 1921), поэтому периметр трапеции равен учетверённому отрезку DH
, т. е. 8r\sqrt{3}
, а так как L_{1}=2\pi r
,
\frac{P}{L_{1}}=\frac{8r\sqrt{3}}{2\pi r}=\frac{4\sqrt{3}}{\pi}.
Из прямоугольного треугольника BHD
находим, что
BD=\sqrt{BH^{2}+DH^{2}}=\sqrt{4r^{2}+12r^{2}}=4r.
Пусть R
— радиус круга площади S_{2}
, описанного около трапеции. По теореме синусов
R=\frac{BD}{2\sin\angle ADB}=\frac{4r}{2\sin30^{\circ}}=4r,
поэтому
L_{2}=2\pi R=2\pi\cdot4r=8\pi r
Следовательно,
\frac{P}{L_{2}}=\frac{16r}{8\pi r}=\frac{2}{\pi}.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2020, март, заключительный тур, 9 класс, комплект 2, вариант 1, задача 5