12256. Точки M
, N
, P
— основания высот, опущенных из вершин треугольника ABC
с углами 45^{\circ}
, 60^{\circ}
, 75^{\circ}
на его стороны. Найдите отношение площадей треугольников MNP
и ABC
.
Ответ. \frac{\sqrt{3}-1}{4}
.
Решение. Первый способ. Пусть AM
, BN
и CP
— высоты треугольника ABC
площади S
, проведённые из вершин углов, равных 45^{\circ}
, 60^{\circ}
, 75^{\circ}
соответственно. Треугольник MCN
подобен треугольнику треугольнику ACB
с коэффициентом \cos\angle ACM=\cos75^{\circ}
(см. задачу 19), поэтому
S_{\triangle BCN}=S\cos^{2}75^{\circ}=S\cdot\frac{1+\cos150^{\circ}}{2}=S\cdot\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{S(2-\sqrt{3})}{4}.
Аналогично,
S_{\triangle MBP}=S\cos^{2}60^{\circ}=\frac{1}{4}S,~S_{\triangle NAP}=S\cos^{2}45^{\circ}=\frac{1}{2}S.
Тогда
S_{\triangle MNP}=S-\frac{S(2-\sqrt{3})}{4}-\frac{1}{4}S-\frac{1}{2}S=
=S\left(1-\frac{2-\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right)=S\cdot\frac{\sqrt{3}-1}{4}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle MNP}}{S}=\frac{S\cdot\frac{\sqrt{3}-1}{4}}{S}=\frac{\sqrt{3}-1}{4}.
Второй способ. Воспользуемся формулой площади S'
ортотреугольника остроугольного треугольника с углами \alpha
, \beta
, \gamma
и площадью S
(см. задачу 3798). Получим
S'=2S\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=2S\cos45^{\circ}\cos60^{\circ}\cos75^{\circ}=2S\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{3}-1}{4}.