3798. Углы остроугольного треугольника площади S
равны \alpha
, \beta
, \gamma
. Докажите, что площадь его ортотреугольника равна 2S\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma
.
Указание. Пусть AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— высоты остроугольного треугольника ABC
. Тогда треугольник AB_{1}C_{1}
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \cos\angle A
(см. задачу 19).
Решение. Пусть AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— высоты остроугольного треугольника ABC
. Обозначим
BC=a,~AC=b,~AB=c,~B_{1}C_{1}=a_{1},~A_{1}C_{1}=b_{1},~A_{1}B_{1}=c_{1},
Треугольник AB_{1}C_{1}
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \cos\alpha
(см. задачу 19), поэтому a_{1}=a\cos\alpha
. Аналогично b_{1}=b\cos\beta
и c_{1}=c\cos\gamma
.
Первый способ. Поскольку
\angle CA_{1}B_{1}=\angle BAC=\alpha,~\angle BA_{1}C_{1}=\angle BAC=\alpha
(см. задачу 141), то
\angle B_{1}A_{1}C_{1}=180^{\circ}-2\alpha.
Следовательно,
S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}=\frac{1}{2}A_{1}B_{1}\cdot A_{1}C_{1}\sin\angle B_{1}A_{1}C_{1}=\frac{1}{2}b_{1}c_{1}\sin(180^{\circ}-2\alpha)=
=\frac{1}{2}b_{1}c_{1}\sin2\alpha=\frac{1}{2}b\cos\beta\cdot c\cos\gamma\cdot2\sin\alpha\cos\alpha=
=bc\sin\alpha\cdot\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=2S\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть R
и R_{1}
— радиусы описанных окружностей треугольников ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
соответственно. Поскольку описанная окружность треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
— это окружность девяти точек треугольника ABC
(см. задачу 174), её радиус вдвое меньше радиуса описанной окружности треугольника ABC
, т. е. R_{1}=\frac{1}{2}R
. Тогда (см. задачу 4259)
S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}=\frac{a_{1}b_{1}c_{1}}{4R_{1}}=\frac{a\cos\alpha\cdot b\cos\beta\cdot c\cos\gamma}{4\cdot\frac{1}{2}R}=\frac{2abc\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}{4R}=
=2\cdot\frac{abc}{4R}\cdot\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=2S_{\triangle ABC}\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma.
Что и требовалось доказать.
Примечание. См. также статью А.Егорова «Ортоцентрический треугольник», Квант, 2001, N4, с.36-38.