12278. Дан прямоугольный треугольник ABC
с катетами AB=42
и BC=56
. Окружность, проходящая через точку B
, пересекает сторону AB
в точке P
, сторону BC
— в точке Q
, а сторону AC
— в точках K
и L
. Известно, что PK=QK
и QL:PL=3:4
. Найдите PQ^{2}
.
Ответ. 1250.
Решение. Первый способ. Поскольку \angle PBQ=90^{\circ}
, хорда PQ
— диаметр окружности, поэтому \angle PKQ=\angle PLQ=90^{\circ}
. Из условия также следует, что прямоугольные треугольники ABC
и QLP
подобны (AB:BC=42:56=3:4=QL:LP
). Из этого подобия и вписанности пятиугольника BQLKP
получаем, что
\angle ACB=\angle QPL=\angle QKL,
поэтому треугольник CQK
равнобедренный, CQ=QK
. Аналогично,
\angle BAC=\angle PQL=180^{\circ}-\angle PKL=\angle AKP,
поэтому AP=PK
. Также по условию PK=KQ
. Таким образом,
CQ=QK=PK=AP=x.
По теореме Пифагора
AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{14^{2}(3^{2}+4^{2})}=14\cdot5=70,
а также \cos\angle BAC=\frac{3}{5}
и \cos\angle ACB=\frac{4}{5}
.
Высоты PP'
и QQ'
равнобедренных треугольников APK
и CQK
являются медианами, поэтому
70=AC=AK+KC=2AP'+2CQ'=2x\cos\angle BAC+2x\cos\angle ACB=
=2x\left(\frac{3}{5}+\frac{4}{5}\right)=\frac{14}{5}x,
откуда x=25
. Следовательно,
PQ^{2}=PK^{2}+QK^{2}=25^{2}+25^{2}=1250.
Второй способ. По теореме Пифагора находим, что AC=70
(см. первый способ). Также из подобия и вписанности получаем, что
\angle ACB=\angle QPL=\angle QBL,
поэтому треугольник CLB
равнобедренный, CL=LB
. Аналогично,
\angle BAC=\angle PQL=\angle PBL,
поэтому AL=BL=CL
, т. е. L
— середина гипотенузы.
Точка K
равноудалена от точек P
и Q
, значит, K
— середина дуги PLQ
данной окружности и лежит на биссектрисе угла ABC
. Тогда по свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) получаем, что AK:KC=AB:BC=3:4
, откуда
AK=\frac{3}{7}AC=30,~CK=\frac{4}{7}AC=40.
Из свойств секущих к окружности, проведённых из одной точки (см. задачу 2636), получаем
AK\cdot AL=AB\cdot AP,~CK\cdot CL=CQ\cdot CB,
откуда соответственно
AP=\frac{AK\cdot AL}{AB}=\frac{30\cdot35}{42}=25,~CQ=\frac{CK\cdot CL}{AB}=\frac{40\cdot35}{56}=25.
Тогда
BP=AB-AP=17,~BQ=BC-CQ=31.
Следовательно,
PQ^{2}=PB^{2}+BQ^{2}=17^{2}+31^{2}=1250.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2020-2021, XLVII, муниципальный этап (дистанционно), Москва, № 7, 10 класс