12286. Высота AL
остроугольного треугольника ABC
пересекается с биссектрисой, проведённой из вершины B
, в точке P
. Высота BM
пересекается с биссектрисой, проведённой из вершины C
, в точке Q
. Высота CN
пересекается с биссектрисой, проведённой из вершины A
, в точке R
. Докажите, что
\frac{AP}{PL}\cdot\frac{BQ}{QM}\cdot\frac{CR}{RN}\geqslant8.
Решение. Обозначим углы при вершинах A
, B
и C
треугольника ABC
через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно, а противолежащие им стороны BC
, AC
и AB
— через a
, b
и c
соответственно.
Из прямоугольного треугольника ABL
получаем, что
BL=AB\cos\cos\angle ABL=c\cos\beta.
Поскольку BP
— биссектриса треугольника ABL
, то (см. задачу 1509)
\frac{AP}{PL}=\frac{AB}{BL}=\frac{c}{c\cos\beta}=\frac{1}{\cos\beta}.
Аналогично,
\frac{BQ}{QM}=\frac{1}{\cos\gamma},~\frac{CR}{RN}=\frac{1}{\cos\alpha}.
Следовательно,
\frac{AP}{PL}\cdot\frac{BQ}{QM}\cdot\frac{CR}{RN}=\frac{1}{\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma},
а так как (см. задачу 3253б)
\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\leqslant\frac{1}{8},
то
\frac{AP}{PL}\cdot\frac{BQ}{QM}\cdot\frac{CR}{RN}\geqslant8.
Что и требовалось доказать.