12291. Две окружности касаются внешним образом в точке C
. Прямая касается меньшей окружности в точке A
, а большей — в точке B
, отличной от A
. Прямая AC
вторично пересекает большую окружность в точке D
, прямая BC
вторично пересекает меньшую окружность в точке E
.
а) Докажите, что AE\parallel BD
.
б) Пусть L
— отличная от D
точка пересечения отрезка DE
с большей окружностью. Найдите EL
, если радиусы окружностей равны 1 и 3.
Ответ. \frac{2}{\sqrt{7}}
.
Решение. а) Пусть общая касательная к данным окружностям, проведённая через точку C
, пересекает общую касательную AB
в точке M
. Тогда MA=MC=MB
, т. е. медиана CM
треугольника ABC
равна половине стороны AB
. Значит, \angle ACB=90^{\circ}
. Тогда \angle ACE=90^{\circ}
, поэтому AE
— диаметр меньшей окружности. Следовательно, AE\perp AB
. Аналогично докажем, что BD\perp AB
. Прямые AE
и BD
перпендикулярны одной и той же прямой AB
, значит, они параллельны.
б) Пусть радиусы окружностей равны r
и R
(r\lt R
). Опустим перпендикуляр OH
из центра O
меньшей окружности на диаметр BD
большей. Тогда
OH^{2}=(R+r)^{2}-(R-r)^{2}=4rR.
Опустим перпендикуляр EF
из точки E
на BD
. Тогда
ED=\sqrt{EF^{2}+DF^{2}}=\sqrt{OH^{2}+(BD-BF)^{2}}=
=\sqrt{4rR+(2R-2r)^{2}}=2\sqrt{r^{2}-rR+R^{2}}=2\sqrt{1-3+9}=2\sqrt{7}.
Отрезок AC
— высота прямоугольного треугольника ABE
, проведённая из вершины прямого угла, а ECB
и ELD
— секущие к большей окружности, проведённые из одной точки, поэтому
EL\cdot ED=EC\cdot EB=AE^{2}
(см. задачи 2636 и 2728). Следовательно,
EL=\frac{EC\cdot EB}{ED}=\frac{AE^{2}}{ED}=\frac{4}{2\sqrt{7}}=\frac{2}{\sqrt{7}}.