12338. В треугольнике ABC
высоты AA_{1}
и CC_{1}
пересекаются в точке H
. Точки M
и N
— середины отрезков AC
и A_{1}C_{1}
соответственно. Докажите, что прямая BH
касается описанной окружности треугольника NHM
.
Решение. Отрезки C_{1}M
и A_{1}M
— медианы прямоугольных треугольников AC_{1}C
и AA_{1}C
, проведённые из вершин прямых углов, поэтому C_{1}M=\frac{1}{2}AC=A_{1}M
(см. задачу 1109). Значит, треугольник A_{1}MC_{1}
равнобедренный. Его медиана MN
перпендикулярна основанию A_{1}C_{1}
.
Из точек A_{1}
и C_{1}
отрезок AC
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AC
. Вписанные в эту окружность углы ACC_{1}
и AA_{1}C_{1}
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны. Значит,
\angle ACH=\angle ACC_{1}=\angle AA_{1}C_{1}=\angle C_{1}A_{1}H.
Значит, треугольники ACH
и C_{1}A_{1}H
подобны.
Пусть BB_{1}
— третья высота треугольника ABC
. Тогда BB_{1}
проходит через точку H
.
Отрезки HM
и HN
— соответствующие медианы этих подобных треугольников, поэтому \angle HNA_{1}=\angle HMC
. Тогда
\angle MNH=90^{\circ}-\angle HNA_{1}=90^{\circ}-\angle HMB_{1}=90^{\circ}-HMC=\angle MHB_{1}.
Следовательно, прямая BH
— касательная к описанной окружности треугольника NHM
(см. задачу 144).
Примечание. См. статью Д.Швецова «Подобие с медианами», Квант, 2021, N7, с.42-47.
Источник: Олимпиада «Высшая проба» (математическая олимпиада ВШЭ). — 2016, заключительный этап, задача 6, 11 класс
Источник: Журнал «Квант». — 2021, № 7, с. 42, задача 4