12339. Через середину K
медианы BM
треугольника ABC
и вершину A
проведена прямая, пересекающая сторону BC
в точке P
. Найдите отношение площади треугольника ABK
к площади четырёхугольника KPCM
.
Ответ. 3:5
.
Решение. Первый способ. Проведём отрезок MT
, параллельный AP
(точка T
на стороне BC
). Тогда MT
— средняя линия треугольника APC
, CT=TP
, а KP
— средняя линия треугольника BMT
, TP=BP
. Обозначим площадь треугольника BKP
через S
. Тогда площадь треугольника KPC
, имеющего ту же высоту и вдвое большее основание, равна 2S
. Значит, площадь треугольника CKB
равна 3S
и равна площади треугольника CMK
(эти треугольники имеют одну и ту же высоту, проведённую из вершины C
, и равные основания BK
и MK
), которая в свою очередь равна площади треугольника AMK
. Площадь треугольника ABK
равна площади треугольника AMK
. Итак,
S_{\triangle BKP}=S,~S_{\triangle KPC}=2S,~S_{\triangle CMK}=3S=S_{\triangle AMK}=S_{\triangle ABK},~S_{KPCM}=5S.
Следовательно, S_{\triangle ABK}:S_{KPCM}=3:5
.
Второй способ. Пусть прямая, проведённая через вершину B
параллельно стороне AC
, пересекается с прямой AP
в точке E
. Обозначим, AM=CM=a
. Из равенства треугольников BKE
и MKA
получаем, что BE=AM=a
. Из подобия треугольников BPE
и CPA
получаем, что \frac{BP}{PC}=\frac{BE}{AC}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}
.
Обозначим S_{\triangle ABC}=Z
. Тогда (см.задачи 3000 и 3007)
S_{\triangle ABK}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABM}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{4}Z,
S_{\triangle KBP}=\frac{BK}{BM}\cdot\frac{BP}{BC}S_{\triangle CBM}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}Z=\frac{1}{12}Z,
S_{KPCM}=S_{\triangle CBM}-S_{\triangle KBP}=\frac{1}{2}Z-\frac{1}{12}Z=\frac{5}{12}Z.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle ABK}}{S_{KPCM}}=\frac{\frac{1}{4}Z}{\frac{5}{12}}Z=\frac{3}{5}.