12403. В четырёхугольнике ABCD
углы B
и D
прямые, а BD=AB
. Известно, что AP=40
, CP=15
, где P
— точка пересечения диагоналей. Найдите CD
.
Ответ. 33.
Решение. Из точек B
и D
отрезок AC
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AC
(см. задачу 1689). Середина O
диагонали AC
— центр этой окружности. Эта же окружность описана около равнобедренного треугольника ABD
, поэтому на луч BO
— биссектриса угла при вершине B
этого треугольника.
Обозначим \angle BAD=\angle BDA=\alpha
. Тогда
\angle ABO=\angle PBO=\frac{1}{2}\angle ABD=\frac{1}{2}(180^{\circ}-2\alpha)=90^{\circ}-\alpha.
Треугольник AOB
равнобедренный, поэтому
\angle BAP=\angle BAC=\angle BAO=\angle ABO=90^{\circ}-\alpha.
Треугольники BOP
и ABP
подобны по двум углам (угол при вершине P
— общий), поэтому
\frac{OP}{BP}=\frac{BP}{AP}~\Rightarrow~BP^{2}=AP\cdot OP=AP(OC-CP)=
=40\left(\frac{55}{2}-15\right)=40\cdot\frac{25}{2}=20\cdot25~\Rightarrow~BP=10\sqrt{5}.
По теореме о произведения пересекающихся хорд (см. задачу 2627)
BP\cdot PD=AP\cdot PC~\Rightarrow~PD=\frac{AP\cdot PC}{BP}=\frac{40\cdot15}{10\sqrt{5}}=12\sqrt{5}~\Rightarrow
\Rightarrow~AB=BD=BP+PD=10\sqrt{5}+12\sqrt{5}=22\sqrt{5}.
Треугольник DPC
подобен треугольнику APB
с коэффициентом \frac{CP}{BP}=\frac{15}{10\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{10}
. Следовательно,
CD=AB\cdot\frac{3\sqrt{5}}{10}=22\sqrt{5}\cdot\frac{3\sqrt{5}}{10}=33.
Источник: Олимпиада «Курчатов». — 2013-2014, отборочный этап, задача 7, 10-11 класс