12405. Около треугольника ABC
описана окружность \omega
, центр которой не указан. Указаны точки L
и Q
— основания биссектрис соответственно внутреннего и внешнего углов при вершине A
. Проведя не более трёх линий c помощью циркуля и линейки, постройте диаметр окружности.
Решение. Продолжим отрезок AL
до вторичного пересечения с окружностью в точке N
, проведём прямую AQ
до вторичного пересечения с окружностью в точке F
, соединим отрезком точки N
и F
. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны (см. задачу 937), поэтому \angle NAF=90^{\circ}
. Следовательно, NF
— диаметр окружности (см. задачу 1689).
Примечание. См. статью Г.Филипповского «В поисках оптимальных построений», Квант, 2021, N9, с.25-28