12412. Две касательные к кругу неподвижны, а третья катится по кругу. Докажите, что отрезок третьей касательной, заключённый между первыми двумя, виден из центра под постоянным углом.
Решение. Если две первые касательные параллельны, то отрезок любой третьей касательной, заключённый между ними, виден из центра круга под прямым углом (см. задачу 1729).
Пусть касательные, проведённые через точки A
и B
, лежащие на окружности, пересекаются в точке M
, третья касательная пересекает прямые AM
и BM
в точках P
и Q
, \angle AMB=\alpha
.
Предположим, что третья касательная проходит через точку C
, лежащую на меньшей дуге окружности. Тогда центр O
окружности — точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах P
и Q
треугольника PMQ
(см. задачу 1724), поэтому
\angle POQ=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle AMB=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 4770), т. е. угол POQ
один и тот же для любой такой точки C
.
Если же точка C
лежит на большей дуге AB
окружности, то O
— точка пересечения биссектрис внутренних углов при вершинах P
и Q
треугольника PMQ
, поэтому
\angle POQ=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle AMB=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 4770), т. е. угол POQ
также один и тот же для любой такой точки C
.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1934, третий тур, задача 4(б), 10 класс
Источник: Журнал «Квант». — 2020, № 7, с. 20