12425. На стороне AB
квадрата ABCD
отмечена произвольная точка K
. Пользуясь только линейкой без делений, постройте какой-нибудь прямоугольник с вершиной K
, вписанный в этот квадрат. (Каждая сторона квадрата должна содержать одну вершину прямоугольника.)
Решение. Первый способ. 1) Проведём диагонали квадрата, O
— точка их пересечения.
2) Проведём прямую KO
, M
— точка её пересечения со стороной CD
.
3) Проведём прямую CK
, P
— точка её пересечения с диагональю BD
в точке P
.
4) Проведём прямую AP
, которая пересечёт сторону BC
в точке L
.
5) Проведём прямую LO
, которая пересечёт сторону AD
в точке N
.
Докажем, что KLMN
— искомый прямоугольник. Действительно, точка P
лежит на медиане BO
треугольника ABC
, а прямые CP
и AP
пересекают стороны AB
и BC
этого треугольника в точках K
и L
. Значит, KL\parallel AC
(см. задачу 1624). Аналогично, MN\parallel AC
, поэтому KL=MN
. Кроме того, из равенства треугольников BOL
и DON
и доказанной параллельности следует, что KBL
и NDM
— равные равнобедренные прямоугольные треугольники, значит,
BK=BL=DN=DM.
Тогда
CL=CM=AN=CM.
Значит, LM\parallel BD\parallel KN
. Тогда четырёхугольник KLMN
— параллелограмм, стороны которого соответственно параллельны диагоналям квадрата. Следовательно, это прямоугольник.
Второй способ. Прямые AB
и CD
параллельны, поэтому через точку O
пересечения диагоналей данного квадрата можно, пользуясь только линейкой, провести прямую, параллельную AB
и CD
(см. задачу 1540). Пусть она пересекает сторону BC
в точке X
. Аналогично, построим прямую, проходящую через точку O
параллельно BC
и AD
пересекающую сторону AB
в точке Y
. Тогда OXBY
— квадрат, а его диагональ XY
параллельна AC
. Теперь через данную точку K
можно, пользуясь только линейкой, провести прямую KL
, параллельную прямым AC
и XY
. Далее см. первый способ.
Автор: Филипповский Г. Б.
Источник: Журнал «Квант». — 2020, № 2, с. 27, задача 3