12451. В треугольнике ABC
проведена биссектриса BK
. Касательная в точке K
к окружности \omega
, описанной около треугольника ABK
, пересекает сторону BC
в точке L
. Прямая AL
вторично пересекает окружность \omega
в точке M
. Докажите, что прямая BM
проходит через середину отрезка KL
.
Решение. Докажем, что прямая KL
— касательная к окружности \Omega
, описанной около треугольника BML
. Пусть N
— точка на продолжении отрезка KL
за точку K
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle AKN=\angle ABK=\angle CBK=\angle LBK.
Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle MLK=\angle ALK=\angle AKN-\angle LAK=\angle LBK-\angle MAK=\angle LBK-\angle MBK=\angle LBM.
Следовательно, по теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой (см. задачу 144), KL
— касательная к окружности \Omega
.
Продолжение общей хорды BM
пересекающихся окружностей \omega
и \Omega
проходит через середину отрезка KL
общей касательной к этим окружностям (см. задачу 444). Что и требовалось доказать.
Автор: Кунгожин М. А.
Источник: Казахская республиканская олимпиада по математике. — 2010