12454. Диагонали трапеции ABCD
(AD\parallel BC
) пересекаются в точке K
. На прямой AD
отмечены точки L
и M
так, что точка A
лежит на отрезке DL
, D
лежит на отрезке AM
, AL=AK
и DM=DK
. Докажите, что прямые CL
и BM
пересекаются на биссектрисе угла BKC
.
Решение. Пусть прямые CL
и BM
пересекаются в точке P
, а прямые PK
и AD
— в точке Q
. Достаточно доказать, что PQ
— биссектриса угла AKD
, или \frac{AQ}{AK}=\frac{DQ}{DK}
(см. задачу 1510).
Применим теорему Менелая к треугольникам ACL
и BDM
и прямой PQ
(см. задачу 1622). Получим
\frac{LQ}{QA}\cdot\frac{AK}{KC}\cdot\frac{CP}{PL}=1=\frac{MQ}{QD}\cdot\frac{DK}{KB}\cdot\frac{BP}{PM}.
Из параллельности BC
и AD
(и BC
и LM
) следует, что \frac{AK}{KC}=\frac{DK}{KB}
и \frac{CP}{PL}=\frac{BP}{PM}
. Тогда
\frac{LQ}{QA}=\frac{MQ}{QD}~\Leftrightarrow~\frac{AQ}{AL}=\frac{DQ}{DM}~\Leftrightarrow~\frac{AQ}{AK}=\frac{DQ}{DK}.
Что и требовалось доказать.
Автор: Кунгожин М. А.
Источник: Казахская республиканская олимпиада по математике. — 2018