12491. В прямоугольном треугольнике ABC
отмечены: точка K
— середина гипотенузы AB
и точка M
на катете BC
, причём BM:MC=2
. Пусть отрезки AM
и CK
пересекаются в точке P
. Докажите, что прямая KM
касается описанной окружности треугольника AKP
.
Решение. Первый способ. Отметим середину T
отрезка BM
. Тогда BT=TM=MC
. Отрезок KT
— средняя линия треугольника ABM
, поэтому KT\parallel AM
. Значит, \angle KAM=\angle BKT
.
Отрезок CK
— медиана прямоугольного треугольнике ABC
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому CK=\frac{1}{2}AB=KB
(см. задачу 1109). Значит, \angle KCB=\angle KBC
.
Треугольники BKT
и CKM
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому
\angle MKC=\angle BKT=\angle KAM=\angle KAP.
Следовательно, прямая KM
— касательная к описанной окружности треугольника AKP
(см. задачу 144).
Второй способ. Отрезок CK
— медиана прямоугольного треугольнике ABC
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому CK=\frac{1}{2}AB=KB
(см. задачу 1109). Значит, \angle KCB=\angle KBC
.
Треугольник KCM
подобен треугольнику ABM
по двум сторонам (\frac{CM}{CK}=\frac{BM}{BA}=\frac{1}{2}
) и углу между ними. Значит,
\angle CKM=\angle BAM=\angle KAP.
Следовательно, прямая KM
— касательная к описанной окружности треугольника AKP
(см. задачу 144).
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2016, заключительный этап, задача 4, 9 класс