12492. Две окружности пересекаются в точках P
и M
. На первой окружности выбрана произвольная точка A
, отличная от P
и M
и лежащая внутри второй окружности. Лучи PA
и MA
вторично пересекают вторую окружность в точках B
и C
соответственно. Докажите, что прямая, проходящая через точку A
и центр первой окружности, перпендикулярна прямой BC
.
Решение. Пусть E
— точка первой окружности, диаметрально противоположная точке A
. Нам нужно доказать, что прямые AE
и BC
перпендикулярны. Точка E
может лежать как вне второй окружности, так и внутри неё, либо может совпадать с P
или M
.
1. Пусть точка A
лежит внутри второй окружности и не совпадает с P
и M
(рис. 1), а прямая AE
пересекает BC
в точке T
. Тогда по теореме о вписанных углах
\angle PBT=\angle PBC=\angle PMC=\angle PMA=\angle PEA.
Из точек B
и E
, лежащих по одну сторону от прямой PT
, отрезок PT
виден под одним и тем же углом, значит, точки B
, E
, P
и T
лежат на одной окружности (см. задачу 12), а так как \angle BPE=\angle APE=90^{\circ}
, то BE
— диаметр этой окружности. Тогда \angle BTE=90^{\circ}
. Следовательно, AE\perp BC
.
2. Пусть точка A
лежит внутри второй окружности, а точка E
совпадает, например, с P
(рис. 2). Тогда четырёхугольник CBMP
вписанный, поэтому
\angle CBP=\angle CMP=\angle AMP=\angle AME=90^{\circ}.
Следовательно, прямые AE
и BC
перпендикулярны.
Аналогично для случая, когда точка A
лежит внутри второй окружности, а точка E
совпадает с M
.
Примечание. См. также задачу 150.