12502. Даны треугольник ABC
и такие точки D
и E
, что углы ADB
и CEB
прямые. Докажите, что отрезок DE
не больше полупериметра треугольника ABC
.
Решение. Отметим середины сторон AB
и BC
— точки K
и L
соответственно. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы (см. задачу 1109), поэтому
DK=\frac{1}{2}AB,~EL=\frac{1}{2}AC,
а так как KL
— средняя линия треугольника ABC
, то KL=\frac{1}{2}BC
. Следовательно (см. задачу 1783),
SE\leqslant DK+KL+EL=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}BC+\frac{1}{2}AC=\frac{AB+BC+AC}{2}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2013, заключительный этап, задача 4, 8 класс