12503. Прямая, касающаяся описанной окружности треугольника ABC
в точке A
, пересекается с прямой BC
в точке K
. На прямой BC
от точки K
в сторону точек B
и C
отложен отрезок KM
, равный AK
. Докажите, что AM
— биссектриса угла BAC
.
Решение. Обозначим \angle KMA=\angle KAM=\alpha
, \angle ABC=\beta
. Из теоремы об угле между касательной и хордой (см. задачу 87) следует, что
\angle CAK=\angle ABC=\beta,
поэтому
\angle CAM=\angle KAM-\angle CAK=\alpha-\beta.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle BAM=\angle KMA-\angle ABM=\alpha-\beta=\angle CAM.
Следовательно, AM
— биссектриса угла BAC
. Что и требовалось доказать
Примечание. Верно и обратное: если AM
— биссектриса угла BAC
, то KM=KA
(см. задачу 4708).
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2012, заключительный этап, задача 3, 9 класс
Источник: Московская математическая регата. — 2018-2019, второй тур, № 2, 9 класс