12505. Угол между продолжениями сторон AB
и CD
выпуклого четырёхугольника ABCD
равен 90^{\circ}
, а отрезок PQ
, соединяющий середины сторон AD
и BC
, равен половине разности этих сторон. Докажите, что ABCD
— трапеция.
Решение. Пусть прямые AB
и CD
пересекаются в точке R
(будем считать, что точки P
и R
лежат по разные стороны от прямой BC
). В прямоугольных треугольниках ARD
и BRC
медианы PR
и QR
проведены из вершины прямого угла, поэтому RP=\frac{1}{2}AD
и RQ=\frac{1}{2}BC
(см. задачу 1109). Поэтому, если точки P
, Q
и R
не лежат на одной прямой, то
PR\lt PQ+RQ=\frac{AD-BC}{2}+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD=PR,
что невозможно. Следовательно, точки P
, Q
и R
лежат на одной прямой.
Треугольники RQB
и RPA
равнобедренные с вершинами Q
и P
соответственно. Следовательно,
\angle PAR=\angle PRA=\angle QRB=\angle QBR.
Таким образом, соответственные углы, образованные при пересечении прямой AR
с прямыми AD
и BC
, равны, значит, AD\parallel BC
, а так как прямые AB
и CD
пересекаются, то ABCD
— трапеция.
Примечание. Верно и обратное: если продолжения боковых сторон трапеции пересекаются под прямым углом, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности (см. задачу 1227).