12509. В трапеции углы при большем основании равны 20^{\circ}
и 70^{\circ}
, средняя линия равна 18, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 6. Найдите отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, с концами на боковых сторонах.
Ответ. 16.
Решение. Пусть AD
и BC
— основания трапеции ABCD
, AD\gt BC
. Обозначим AD=x
, BC=y
. Сумма углов при основании AD
трапеции равна 90^{\circ}
, значит, отрезок MN
, соединяющий середины оснований, равен их полуразности (см. задачу 1227), т. е. \frac{x-y}{2}=6
. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, т. е. \frac{x+y}{2}=18
. Складывая и вычитая эти равенства, находим, что x=24
и y=12
.
Отрезок EF
прямой, параллельной основаниям трапеции, заключённый внутри трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей, равен среднему гармоническому оснований (см. задачу 1512), т. е.
EF=\frac{2xy}{x+y}=\frac{2\cdot24\cdot12}{24+12}=\frac{2\cdot2\cdot12}{2+1}=16.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2010, заключительный этап, задача 2, 11 класс