12558. В четырёхугольнике ABCD
точки P
, Q
, R
, S
— середины сторон AB
, BC
, CD
, DA
соответственно, а T
— точка пересечения отрезков PR
и QS
. Докажите, что сумма площадей четырёхугольников APTS
и CRTQ
равна половине площади четырёхугольника ABCD
.
Решение. Пусть площадь четырёхугольника ABCD
равна S
. Четырёхугольник PQRS
— параллелограмм (см. задачу 1204), а его площадь равна \frac{1}{2}S
(см. задачу 3019). Значит, сумма площадей равных треугольников QTR
и STP
равна \frac{1}{4}S
.
Отрезки QR
и SP
— средние линии треугольников BCD
и BAD
, поэтому
S_{\triangle QCR}+S_{\triangle PAS}=\frac{1}{4}S_{\triangle BCD}+\frac{1}{4}S_{\triangle BAD}=
=\frac{1}{4}(S_{\triangle BCD}+S_{\triangle BAD})=\frac{1}{4}S_{ABCD}=\frac{1}{4}S.
Следовательно,
S_{CRTQ}+S_{APTS}=(S_{\triangle QCR}+S_{\triangle QTR})+(S_{\triangle PAS}+S_{\triangle STP})=
=(S_{\triangle QCR}+S_{\triangle PAS})+(S_{\triangle QTR}+S_{\triangle STP})=\frac{1}{4}S+\frac{1}{4}S=\frac{1}{2}S.
Что и требовалось доказать.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2016-2017, второй этап, задача 4, 9 класс