12565. Площадь четырёхугольника, образованного серединами оснований и диагоналей трапеции, в четыре раза меньше, чем площадь самой трапеции. Найти отношение оснований трапеции.
Ответ. 3:1
.
Решение. Пусть ABCD
— трапеция с основаниями AD=a
и BC=b
(a\gt b
) и высотой h
. Тогда четырёхугольник KLMN
с вершинами в серединах K
и M
оснований соответственно BC
и AD
и в серединах L
и N
диагоналей соответственно BD
и AC
трапеции — параллелограмм (см. задачу 1234). Диагональ NL
этого параллелограмма параллельна основаниям трапеции и равна их полуразности (см. задачу 1226), а площадь равна удвоенной площади треугольника NKL
с основанием NL=\frac{b-a}{2}
и высотой \frac{h}{2}
, т. е.
S_{KLMN}=2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{b-a}{2}\cdot\frac{h}{2}=\frac{b-a}{4}\cdot h.
При этом
S_{ABCD}=\frac{a+b}{2}\cdot h=4S_{KLMN},~\mbox{или}~\frac{a+b}{2}\cdot h=(b-a)h,
откуда b=3a
. Следовательно,
\frac{BC}{AD}=\frac{a}{b}=\frac{a}{3a}=\frac{1}{3}.