12605. Дан треугольник со сторонами a
, b
, c
и противолежащими им углами \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно, причём a\geqslant b\geqslant c
, и стороны образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что
2\ctg\frac{\beta}{2}=3\left(\tg\frac{\alpha}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}\right).
Решение. Пусть r
— радиус вписанной окружности треугольника, p
— полупериметр, S
— площадь. Тогда (см. задачу 219)
\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{r}{p-a},~\tg\frac{\gamma}{2}=\frac{r}{p-c},
поэтому, учитывая, что по условию a+c=2b
, получим
\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\gamma}{2}=\frac{r}{p-a}\cdot\frac{r}{p-c}=\frac{r^{2}}{(p-a)(p-c)}=\frac{\frac{S^{2}}{p^{2}}}{(p-a)(p-c)}=
=\frac{p(p-a)(p-b)(p-c)}{p^{2}(p-a)(p-c)}=\frac{p-b}{p}=\frac{a+c-b}{a+c+b}=\frac{2b-b}{2b+b}=\frac{1}{3}.
Известно (см. задачу 4438), что
\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\gamma}{2}+\tg\frac{\beta}{2}\tg\frac{\gamma}{2}=1.
Значит,
\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}\tg\frac{\beta}{2}=1-\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\gamma}{2}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
Умножив обе части этого равенства на \ctg\frac{\beta}{2}
, получим, что
3\left(\tg\frac{\alpha}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}\right)=2\ctg\frac{\beta}{2}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Вот ещё несколько равенств для разностного треугольника (a+c=2b
).
1) \cos\alpha+\cos\gamma=4\sin^{2}\frac{\beta}{2}
.
2) a\cos\gamma-c\cos\alpha=2(a-c)
.
3) ac=6Rr
, где R
— радиус описанной окружности треугольника.
4) \cos\alpha=\frac{4c-3b}{2c}
.