12613. Постройте квадрат ABCD
по его данному центру O
и данными точкам M
и N
на двух его соседних сторонах.
Решение. Первый способ. Пусть точки M
и N
лежат на сторонах соответственно AD
и CD
квадрата ABCD
с центром O
. Тогда точка M'
, симметричная точке M
относительно центра O
, лежит на стороне BC
, а точка N'
, симметричная точке N
относительно центра O
лежит на стороне AB
. Отсюда вытекает следующее построение.
Строим точки M'
и N'
симметричные относительно данной точки O
данным точкам M
и N
соответственно. Затем строим квадрат по четырём точкам M
, N
, M'
и N'
на четырёх его сторонах (см. задачу 5049).
Задача имеет либо единственное решение, либо бесконечно много решений.
Второй способ. Перпендикулярные прямые, проходящие через центр квадрата, пересекают его стороны в вершинах нового квадрата (см. задачу 6004). Отсюда вытекает следующее построение.
Строим точку M'
, симметричную данной точке M
относительно данной точки O
. Проводим серединный перпендикуляр к отрезку MM'
. Затем откладываем на одном из лучей с началом O
отрезок OM''=OM
. Если точка M''
не совпадёт с N
, то прямая NM''
содержит сторону искомого квадрата. Дальнейшее построение очевидно.
Если точка M''
совпадает с N
, задача имеет бесконечно много решений.