12617. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
диагональ AC
делит пополам отрезок, соединяющий середины сторон BC
и AD
. В каком отношении она делит диагональ BD
?
Ответ. 1:1
.
Решение. Первый способ. Пусть P
и Q
— середины сторон BC
и AD
соответственно, прямая, проведённая через вершину B
параллельно OQ
, пересекает прямую AC
в точке K
, а прямая, проведённая через вершину D
параллельно PQ
, пересекает прямую AC
в точке L
. Отрезок PN
проходит через середину P
стороны BC
треугольника KBC
и параллелен стороне BK
, значит, PN
— средняя линия треугольника KBC
. Тогда BK\parallel PQ
и BK=2PN=PQ
. Аналогично, DL\parallel PQ
и DL=PQ
, поэтому BKDL
— параллелограмм. Следовательно, его диагональ BD
делится диагональю KL
, а значит, и прямой AC
, пополам.
Второй способ. Пусть P
и Q
— середины сторон BC
и AD
соответственно, а T
— середина стороны AB
. Тогда TP
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому AC\parallel TP
. При этом TQ\parallel BD
как средняя линия треугольника ABD
. Прямая AC
, параллельная TP
, проходит через середину N
отрезка PQ
, значит, по теореме Фалеса прямая AC
проходит через середину отрезка TQ
. Следовательно, эта прямая проходит через середину BD
, параллельного TQ
(см. задачу 2607 или задачу 1597).
Третий способ. Поместим в вершины четырёхугольника ABCD
одинаковые массы. С одной стороны, центр полученной системы материальных точек — это середина N
отрезка PQ
, с другой — середина отрезка, соединяющего середину X
диагонали AC
и середину Y
диагонали BD
, а так как точки X
и N
лежат на прямой AC
, то и точка Y
лежит на этой прямой. Следовательно, прямая AC
проходит через середину Y
диагонали BD
.
Четвёртый способ. Пусть \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}
, \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}
, \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{c}
. Тогда (см. задачу 4504)
\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ})=\frac{1}{4}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}).
По условию точка N
лежит на отрезке AC
, значит, вектор \overrightarrow{AN}
коллинеарен вектору \overrightarrow{c}
, поэтому \overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{c}
для некоторого числа k
. Тогда
\frac{1}{4}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})=k\overrightarrow{c},
откуда
\frac{1}{2}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d})=\frac{1}{2}(4k-1)\overrightarrow{c},
т. е. вектор с началом в точке A
и концом в середине отрезка BD
коллинеарен вектору \overrightarrow{AC}
. Тем самым доказано, что диагональ AC
делит диагональ BD
пополам.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2009-2010, XXXVI, окружной этап, задача 5, 9 класс