12627. Пусть O
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Найдите медиану, проведённую из вершины A
, если \angle BAC=35^{\circ}
, \angle BOC=145^{\circ}
, BC=a
.
Ответ. \frac{a\sqrt{3}}{2}
.
Решение. Первый способ. Пусть пусть искомая медиана AA_{1}
равна 3x
. Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1
, считая от вершины треугольника, поэтому OA_{1}=x
и AA_{1}=3x
.
На продолжении медианы AA_{1}
за точку A_{1}
отложим отрезок A_{1}F=OA_{1}=x
. Диагонали BC
и OF
четырёхугольника BFCO
делятся точкой A_{1}
пересечения пополам, поэтому BFCO
— параллелограмм. Значит,
\angle BFC=\angle BOC=145^{\circ}.
Тогда
\angle BFC+\angle BAC=145^{\circ}+35^{\circ}=180^{\circ},
поэтому около четырёхугольника ABFC
можно описать окружность. Хорды AF
и BC
этой окружности пересекаются в точке A_{1}
, поэтому по теореме о произведениях пересекающихся хорд (см. задачу 2627)
AA_{1}\cdot A_{1}F=BA_{1}\cdot A_{1}C,~\mbox{или}~3x^{2}=\frac{a^{2}}{4},
откуда x=\frac{a}{2\sqrt{3}}
. Следовательно,
AA_{1}=3x=x=\frac{3a}{2\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.
Второй способ. См. задачу 3376.
Источник: Журнал «Квант». — 2020, № 10, с. 41, задача 5
Источник: Межрегиональная олимпиада школьников на базе ведомственных образовательных программ. — 2020, № 5, 9 класс