12631. Сторона BC
прямоугольника ABCD
вдвое больше стороны AB
. Пусть E
— середина стороны BC
, P
— точка на стороне AD
, F
— проекция точки A
на прямую BP
, G
— проекция точки D
на прямую CP
. Докажите, что точки E
, F
, P
, G
лежат на одной окружности.
Решение. Отрезок AF
— высота прямоугольного треугольника ABP
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому (см. задачу 2728) BF\cdot BP=AB^{2}
. Значит, окружность, проходящая через точки F
, P
и E
касается прямой BC
в точке E
(см. задачу 4776). Аналогично, окружность, проходящая через точки G
, P
и E
, касается прямой BC
в точке E
.
Каждая из этих окружностей проходит через точку P
и касается прямой BC
в точке E
. Значит, окружности совпадают, так как окружность, проходящая через данную точку P
и касающаяся данной прямой BC
в данной точке E
, единственна. Её центр — точка пересечения серединного перпендикуляра к отрезку PE
с перпендикуляром к прямой BC
, проходящим через точку E
. Следовательно, на ней лежат точки E
, F
, P
, G
. Что и требовалось доказать.