12633. Пусть P
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
вписанного четырёхугольника ABCD
. Окружность, проходящая через точку P
, касается стороны CD
в её середине M
и пересекает отрезки BD
и AC
в точках Q
и R
соответственно. Точка S
отрезка BD
такова, что BS=DQ
. Прямая, проходящая через точку S
параллельно AB
, пересекает диагональ AC
в точке T
. Докажите, что AT=RC
.
Решение. По теореме о касательной и секущей (см. задачу 93)
CR\cdot CP=CM^{2}=DM^{2}=DQ\cdot DP,
откуда CR=\frac{DQ\cdot DP}{CP}
. Кроме того, поскольку BS=DQ
, то по теореме Фалеса получаем
\frac{AP}{BP}=\frac{AT}{BS}=\frac{AT}{DQ},
откуда AT=\frac{AP\cdot DQ}{BP}
. Значит,
AT=CR~\Leftrightarrow~\frac{AP\cdot DQ}{BP}=\frac{DQ\cdot DP}{CP}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\frac{AP}{BP}=\frac{DP}{CP}~\Leftrightarrow~DP\cdot BP=AP\cdot CP.
Поскольку четырёхугольник вписан в окружность, последнее равенство следует из теоремы о произведениях отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 2627).