12638. На сторонах BC
и AC
треугольника ABC
отмечены точки D
и E
соответственно, причём BD=AE
. Линия центров окружностей, описанных около треугольников ADC
и BEC
, пересекает прямые AC
и BC
в точках K
и L
соответственно. Докажите, что KC=LC
.
Решение. Пусть P
— отличная от C
точка пересечения указанных в условии окружностей. Достаточно доказать, что прямая KL
образует равные углы с прямыми AC
и BC
.
Линия центров пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде (см. задачу 1130), т. е. KL\perp CP
, поэтому достаточно доказать, что луч CP
— биссектриса угла BAC
. Тогда в треугольнике KCL
высота, проведённая из вершины C
, будет биссектрисой, а тогда треугольник KCL
— равнобедренным.
Четырёхугольники ACDP
и BCEP
вписанные, поэтому
\angle EAP=\angle BDP~\mbox{и}~\angle AEP=\angle DBP,
а так как BD=AE
, то треугольники APE
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, равны высоты этих треугольников, проведённые из общей вершины P
, т. е. точка P
равноудалена от прямых AC
и BC
. Следовательно, луч CP
— биссектриса угла ABC
(см. задачу 1138). Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Олимпиада «Baltic Way». — 2005, задача 11