12641. Прямые e
и f
перпендикулярны и пересекаются в точке O
. Пусть точки A
и B
лежат на прямой e
, а точки C
и D
— на прямой f
, причём все пять точек A
, B
, C
, D
и O
различны. Пусть прямые b
и d
перпендикулярны AC
и проходят через точки B
и D
соответственно, прямые a
и c
перпендикулярны BD
и проходят через точки A
и C
соответственно, прямые a
и b
пересекаются в точке X
, а прямые c
и d
— в точке Y
. Докажите, что прямая XY
проходит через точку O
.
Решение. Пусть прямая a
пересекает прямую BD
в точке A_{1}
, прямая b
пересекает прямую AC
в точке B_{1}
, прямая c
пересекает BD
в точке C_{1}
, прямая d
пересекает AC
в точке D_{1}
.
Из точек A_{1}
, D_{1}
и O
отрезок AD
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности \omega_{1}
с диаметром AD
. Аналогично, точки B_{1}
, C_{1}
и O
лежат на окружности \omega_{2}
с диаметром BC
, а точки C_{1}
и D_{1}
— на окружности \omega_{3}
с диаметром CD
.
Поскольку O
— общая точка окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
, она лежит на их радикальной оси (см. задачу 6392). Аналогично, точка Y
лежит на радикальной оси окружностей \omega_{1}
и \omega_{3}
, а также на радикальной оси окружностей \omega_{2}
и \omega_{3}
. Значит, точка Y
— радикальный центр окружностей \omega_{1}
, \omega_{2}
и \omega_{3}
(см. задачу 6393). Следовательно, точка Y
, как и точка O
, лежит на радикальной оси окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
. Аналогично доказывается, что точка X
лежит на радикальной оси окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
. Таким образом, точки X
, Y
и O
лежат на одной прямой — радикальной оси окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
. Что и требовалось доказать.
Источник: Олимпиада «Baltic Way». — 2005, задача 15