12646. Середина стороны AB
выпуклого пятиугольника ABCDE
соединена отрезком с точкой пересечения медиан треугольника CDE
. Аналогично определяются остальные четыре таких отрезка. Докажите, что все пять таких отрезков пересекаются в одной точке.
Решение. Поместим в вершины пятиугольника одинаковые массы и найдём центр масс O
полученной системы материальных точек. В середину N
стороны AB
поместим удвоенную массу, а в точку M
пересечения медиан треугольника CDE
— утроенную. Тогда точка O
— это точка отрезка MN
, для которой MO:ON=3:2
(см. задачи 6797 и 6798). Из единственности центра масс (см. задачу 6796) следует, что остальные четыре таких отрезка тоже проходят через точку O
.
Примечание. Утверждение остаётся верным, если вместо середин сторон пятиугольника взять середины его диагоналей. Оба утверждения верны для любых пяти точек плоскости (и пространства).
Источник: Олимпиада «Baltic Way». — 1990, задача 7