12648. Докажите, что в нетупоугольном треугольнике периметр больше удвоенного диаметра описанной окружности.
Решение. Пусть K
, L
, M
— середины сторон соответственно AB
, BC
, AC
нетупоугольного треугольника ABC
, O
— центр его описанной окружности, R
— радиус.
При гомотетии с центром в точке пересечения медиан треугольника ABC
и коэффициентом -\frac{1}{2}
треугольник ABC
переходит в треугольник LMK
(см. задачу 5044). При этом точка O
(образ ортоцентра треугольника ABC
) — точка пересечения высот треугольника LMK
, а так как треугольник LMK
нетупоугольный (как и подобный ему треугольник ABC
), то точка O
расположена внутри него (или на стороне, если он прямоугольный).
Таким образом, точка O
расположена внутри выпуклого четырёхугольника AKLM
(или на его стороне). Тогда периметр треугольника AOC
меньше периметра четырёхугольника AKLC
(см. задачу 3266), т. е.
AO+OC+AC\lt AK+KL+LC+AC~\Rightarrow~
\Rightarrow~AO+OC\lt AK+KL+LC=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)\Rightarrow~
~\Rightarrow~2R\lt\frac{1}{2}(AB+AC+BC)~\Rightarrow~4R\lt AB+AC+BC.
Что и требовалось доказать.